Henry Segerman: Materiální harmonie v matematice

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-16 16:00

Podle legendy Pythagoras jako první objevil, že dvě stejně napnuté struny vydávají příjemný zvuk, pokud jsou jejich délky vztaženy jako malá celá čísla. Od té doby jsou lidé fascinováni tajemným spojením krásy a matematiky, zcela hmotným souzněním forem, vibrací, symetrií – a dokonalou abstrakcí čísel a vztahů.

Toto spojení je pomíjivé, ale hmatatelné, ne nadarmo umělci mnoho let využívají zákony geometrie a inspirují se matematickými zákony. Henry Segerman jen těžko opouštěl tento zdroj myšlenek: koneckonců je povoláním i povoláním matematik.

Kleinova láhev „Mentálním slepením okrajů dvou proužků Mobius,“říká Henry Segerman, „můžete získat Kleinovu láhev, která má také jeden povrch. Zde vidíme Kleinovu láhev vyrobenou z proužků Mobius s kulatým okrajem.

Spíše, jak by to mohlo vypadat v trojrozměrném prostoru. Protože původní „kulaté“proužky Mobius jdou do nekonečna, pak taková Kleinova láhev bude pokračovat do nekonečna dvakrát a zkříží se, což je vidět na soše.“Zvětšená kopie této sochy zdobí katedru matematiky a statistiky na University of Melbourne.

Fraktály

„Narodil jsem se do rodiny vědců a myslím, že můj zájem o cokoli, co vyžaduje pokročilé prostorové myšlení, s tím souvisí,“říká Henry. Dnes je již absolventem oxfordského postgraduálního a doktorského studia na Stanfordských univerzitách a zastává pozici docenta na University of Oklahoma.

Úspěšná vědecká kariéra je ale jen jednou stránkou jeho mnohostranné osobnosti: před více než 12 lety začal matematik organizovat umělecké akce… ve virtuálním světě Second Life.

Velmi oblíbený byl tehdy tento trojrozměrný simulátor s prvky sociální sítě, umožňující uživatelům nejen komunikovat mezi sebou, ale také vybavovat své virtuální „avatarky“a prostory pro zábavu, práci atd.

Jméno: Henry Segerman

Narozen v roce 1979

Vzdělání: Stanfordská univerzita

Město: Stillwater, USA

Motto: "Vezmi si jen jeden nápad, ale ukaž ho co nejjasněji."

Segerman sem přišel, vyzbrojen vzorci a čísly, a uspořádal svůj virtuální svět matematickým způsobem a naplnil ho bezprecedentními fraktálními obrazci, spirálami a dokonce tesserakty, čtyřrozměrnými hyperkrychlami. „Výsledkem je projekce čtyřrozměrné hyperkrychle v trojrozměrném vesmíru Second Life – což je samo o sobě projekce trojrozměrného virtuálního světa na dvourozměrnou plochou obrazovku,“poznamenává umělec.

Hilbertova křivka: souvislá čára vyplňuje prostor krychle, nikdy se nepřerušuje ani neprotíná sama se sebou.

Hilbertovy křivky jsou fraktální struktury, a pokud přiblížíte, můžete vidět, že části této křivky kopírují tvar celku. "Viděl jsem je tisíckrát na ilustracích a počítačových modelech, ale když jsem poprvé vzal takovou 3D sochu do rukou, okamžitě jsem si všiml, že je také pružná," říká Segerman. "Fyzické ztělesnění matematických pojmů vždy něčím překvapí."

Mnohem více se mu však líbila práce s hmotnými sochami. „Neustále kolem nás koluje obrovské množství informací,“říká Segerman. - Naštěstí má skutečný svět velmi velkou šířku pásma, která ještě není dostupná na webu.

Dejte člověku hotovou věc, integrální formu - a okamžitě ji bude vnímat v celé její složitosti, aniž by čekal na načtení. Od roku 2009 tedy Segerman vytvořil něco málo přes sto soch a každá z nich je vizuálním a v rámci možností exaktním fyzickým ztělesněním abstraktních matematických pojmů a zákonitostí.

Mnohostěny

Evoluce Segermanových uměleckých experimentů s 3D tiskem podivně opakuje evoluci matematických představ. Mezi jeho první experimenty patřila klasická platónská tělesa, soubor pěti symetrických obrazců, složených do pravidelných trojúhelníků, pětiúhelníků a čtverců. Po nich následovaly polopravidelné mnohostěny - 13 Archimedových těles, jejichž stěny jsou tvořeny nestejnými pravidelnými mnohoúhelníky.

Stanford Rabbit 3D model vytvořený v roce 1994. Skládá se z téměř 70 000 trojúhelníků a slouží jako jednoduchý a oblíbený test výkonnosti softwarových algoritmů. Například na králíkovi můžete vyzkoušet efektivitu komprese dat nebo vyhlazování povrchu u počítačové grafiky.

Proto je pro specialisty tato forma stejná jako fráze „Jezte ještě trochu těchto měkkých francouzských rohlíků“pro ty, kteří si rádi hrají s počítačovými fonty. Stejným modelem je i socha Stanford Bunny, jejíž povrch je dlážděn písmeny slova bunny.

Již tyto jednoduché formy, které migrovaly z dvourozměrných ilustrací a ideálního světa představivosti do trojrozměrné reality, vyvolávají vnitřní obdiv k jejich lakonické a dokonalé kráse. „Vztah mezi matematickou krásou a krásou vizuálních či zvukových uměleckých děl mi připadá velmi křehký.

Koneckonců, mnoho lidí si velmi dobře uvědomuje jednu formu této krásy, úplně nerozumí té druhé. Matematické myšlenky lze převést do viditelných nebo vokálních forem, ale ne všechny a ne tak snadno, jak by se mohlo zdát, “dodává Segerman.

Brzy následovaly klasické figury stále složitější formy až po ty, které by Archimédes nebo Pythagoras sotva napadly - pravidelné mnohostěny, které vyplňují Lobačevského hyperbolický prostor bez intervalu.

Takové postavy s neuvěřitelnými jmény jako „tetraedrická voština řádu 6“nebo „šestihranná mozaiková voština“si nelze představit bez vizuálního obrazu po ruce. Nebo - jedna ze soch od Segermana, které je představují v našem obvyklém trojrozměrném euklidovském prostoru.

Platónská tělesa: čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn složený do pravidelných trojúhelníků, dále krychle a dvacetistěn sestávající ze čtverců založených na pětiúhelnících.

Sám Platón je spojoval se čtyřmi prvky: „hladké“osmistěny podle jeho názoru složený vzduch, „tekuté“dvacetistěny – voda, „husté“krychle – země a ostré a „ostnaté“trojstěny – oheň. Pátý prvek, dvanáctistěn, považoval filozof za částici světa idejí.

Umělcova práce začíná 3D modelem, který sestaví v profesionálním balíčku Rhinoceros. Celkově to tak končí: samotná výroba soch, tisk modelu na 3D tiskárně, Henry si jednoduše objedná přes Shapeways, velkou online komunitu nadšenců pro 3D tisk, a dostane hotový předmět vyrobený z plastu nebo kompozitů s kovovou matricí na bázi ocel-bronz. "Je to velmi snadné," říká. "Stačí nahrát model na stránku, kliknout na tlačítko Přidat do košíku, zadat objednávku a za pár týdnů vám bude doručen poštou."

Obrázek 8 Doplněk Představte si, že uvážete uzel uvnitř tělesa a poté jej odstraníte; zbývající dutina se nazývá doplněk uzlu. Tento model ukazuje přidání jednoho z nejjednodušších uzlů, osmičky.

krása

Nakonec nás vývoj Segermanových matematických soch zavede do složitého a fascinujícího pole topologie. Tento obor matematiky studuje vlastnosti a deformace rovinných ploch a prostorů různých rozměrů a jsou pro něj důležité jejich širší charakteristiky než pro klasickou geometrii.

Zde lze kostku snadno proměnit v kouli jako plastelínu a z hrnku s ouškem svinout koblihu, aniž by se v ní něco důležitého rozbilo – známý příklad ztělesněný v Segermanově elegantním Topologickém vtipu.

Tesseract je čtyřrozměrná krychle: stejně jako čtverec lze získat posunutím segmentu k němu kolmého ve vzdálenosti rovné jeho délce, lze krychli získat podobným zkopírováním čtverce ve třech rozměrech a posunutím krychle ve čtvrtém „nakreslíme“tesseract neboli hyperkrychli. Bude mít 16 vrcholů a 24 ploch, jejichž průměty do našeho trojrozměrného prostoru vypadají jen málo jako běžná trojrozměrná krychle.

"V matematice je estetický smysl velmi důležitý, matematici milují" krásné "věty, - tvrdí umělec. - Je těžké určit, v čem přesně tato krása spočívá, jako ostatně i v jiných případech. Ale řekl bych, že krása věty je v její jednoduchosti, která vám umožňuje něco pochopit, vidět některé jednoduché souvislosti, které se dříve zdály neuvěřitelně složité.

V srdci matematické krásy může být čistý, efektní minimalismus – a překvapené zvolání „Aha!““. Hluboká krása matematiky může být stejně skličující jako ledová věčnost paláce Sněhové královny. Veškerá tato chladná harmonie však vždy odráží vnitřní uspořádanost a pravidelnost Vesmíru, ve kterém žijeme. Matematika je prostě jazyk, který neomylně zapadá do tohoto elegantního a složitého světa.

Paradoxně obsahuje fyzikální korespondence a aplikace pro téměř jakýkoli výrok v jazyce matematických vzorců a vztahů. I ty nejabstraktnější a „umělé“konstrukce dříve nebo později najdou uplatnění v reálném světě.

Topologický vtip: z určitého úhlu pohledu jsou povrchy kruhu a koblihy „stejné“, přesněji řečeno, jsou homeomorfní, protože se dokážou přeměnit jedna v druhou bez zlomů a lepidel. postupná deformace.

Euklidovská geometrie se stala odrazem klasického stacionárního světa, pro newtonovskou fyziku přišel vhod diferenciální počet. Neuvěřitelná Riemannova metrika, jak se ukázalo, je nezbytná k popisu Einsteinova nestabilního vesmíru a multidimenzionální hyperbolické prostory našly uplatnění v teorii strun.

V této podivné korespondenci abstraktních výpočtů a čísel se základy naší reality se možná skrývá tajemství krásy, kterou nutně cítíme za všemi chladnými výpočty matematiků.