Co jsou fraktály: krása matematiky a nekonečno

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-16 16:00

Fraktály jsou známé již století, byly dobře prostudovány a mají četné aplikace v životě. Tento fenomén je však založen na velmi jednoduché myšlence: z relativně jednoduchých struktur lze pomocí pouhých dvou operací – kopírování a škálování – získat množství tvarů, nekonečnou krásu a rozmanitost.

Co mají společného strom, mořské pobřeží, mrak nebo krevní cévy v naší ruce? Na první pohled se může zdát, že všechny tyto předměty nemají nic společného. Ve skutečnosti je však všem uvedeným objektům vlastní jedna vlastnost struktury: jsou sobě podobné. Z větve, stejně jako z kmene stromu, jsou menší větve, z nich - ještě menší atd., to znamená, že větev je jako celý strom.

Oběhový systém je uspořádán podobným způsobem: arterioly odcházejí z tepen az nich - nejmenších kapilár, kterými kyslík vstupuje do orgánů a tkání. Podívejme se na satelitní snímky mořského pobřeží: uvidíme zálivy a poloostrovy; pojďme se na to podívat, ale z ptačí perspektivy: uvidíme zálivy a mysy; Nyní si představme, že stojíme na pláži a díváme se na své nohy: vždy jsou tam oblázky, které vyčnívají do vody dále než ostatní.

To znamená, že po přiblížení zůstává pobřeží podobné samo sobě. Americký (ač vyrostl ve Francii) matematik Benoit Mandelbrot nazval tuto vlastnost objektů fraktálností a takové objekty samotné – fraktály (z latinského fractus – rozbité).

Co je to fraktál?

Tento pojem nemá žádnou striktní definici. Proto slovo „fraktální“není matematický termín. Fraktál je obvykle geometrický obrazec, který splňuje jednu nebo více z následujících vlastností: • Má složitou strukturu při jakémkoli zvětšení (na rozdíl například od přímky, jejíž jakákoliv část je nejjednodušším geometrickým obrazcem - a úsečka). • Je (přibližně) sobě podobný. • Má zlomkovou Hausdorffovu (fraktální) dimenzi, která je větší než topologická. • Lze vytvořit pomocí rekurzivních procedur.

Geometrie a algebra

Studium fraktálů na přelomu 19. a 20. století bylo spíše epizodické než systematické, protože dřívější matematici studovali především „dobré“objekty, které bylo možné zkoumat pomocí obecných metod a teorií. V roce 1872 německý matematik Karl Weierstrass zkonstruoval příklad spojité funkce, která není nikde diferencovatelná. Jeho konstrukce však byla zcela abstraktní a těžko postřehnutelná.

V roce 1904 proto Švéd Helge von Koch vynalezl souvislou křivku, která nikde nemá tečnu a je celkem jednoduché ji kreslit. Ukázalo se, že má vlastnosti fraktálu. Jedna z variant této křivky se nazývá „Kochova vločka“.

Myšlenky sebepodobnosti postav se chopil Francouz Paul Pierre Levy, budoucí mentor Benoita Mandelbrota. V roce 1938 publikoval svůj článek „Rovinné a prostorové křivky a plochy, skládající se z částí podobných celku“, který popisuje další fraktál – Lévyho C-křivku. Všechny tyto výše uvedené fraktály lze podmíněně přiřadit jedné třídě konstruktivních (geometrických) fraktálů.

Další třídou jsou dynamické (algebraické) fraktály, mezi které patří Mandelbrotova množina. První studie v tomto směru začaly na počátku 20. století a jsou spojeny se jmény francouzských matematiků Gastona Julii a Pierra Fatoua. V roce 1918 vyšly Juliiny téměř dvousetstránkové paměti věnované iteracím komplexních racionálních funkcí, v nichž byly popsány Juliiny množiny – celá rodina fraktálů úzce souvisejících s Mandelbrotovou množinou. Toto dílo bylo oceněno cenou Francouzské akademie, ale neobsahovalo jedinou ilustrací, takže nebylo možné ocenit krásu objevených předmětů.

Navzdory skutečnosti, že tato práce oslavila Julii mezi tehdejšími matematiky, byla rychle zapomenuta. Až o půl století později se počítače znovu dostaly do pozornosti: byly to právě ony, kdo zviditelnil bohatství a krásu světa fraktálů.

Fraktální dimenze

Jak víte, rozměr (počet měření) geometrického útvaru je počet souřadnic potřebných k určení polohy bodu ležícího na tomto obrázku.

Například poloha bodu na křivce je určena jednou souřadnicí, na ploše (ne nutně rovině) dvěma souřadnicemi, v trojrozměrném prostoru třemi souřadnicemi.

Z obecnějšího matematického hlediska můžete rozměr definovat takto: zvětšení lineárních rozměrů, řekněme, dvojnásobné, u jednorozměrných (z topologického hlediska) objektů (segmentu) vede ke zvětšení velikosti (délka) dvakrát, pro dvourozměrné (čtverec) stejné zvýšení lineárních rozměrů vede ke zvětšení velikosti (plochy) 4krát, pro trojrozměrné (krychle) - 8krát. To znamená, že "skutečnou" (tzv. Hausdorffovu) dimenzi lze vypočítat jako poměr logaritmu nárůstu "velikosti" objektu k logaritmu nárůstu jeho lineární velikosti. To znamená, že pro segment D = log (2) / log (2) = 1, pro rovinu D = log (4) / log (2) = 2, pro objem D = log (8) / log (2) = 3.

Vypočítejme nyní rozměr Kochovy křivky, pro jejíž konstrukci je jednotkový segment rozdělen na tři stejné části a střední interval je nahrazen rovnostranným trojúhelníkem bez tohoto segmentu. S trojnásobným zvýšením lineárních rozměrů minimálního segmentu se délka Kochovy křivky zvětší v log (4) / log (3) ~ 1, 26. To znamená, že rozměr Kochovy křivky je zlomkový!

Věda a umění

V roce 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, ve které autor shromáždil a systematizoval téměř všechny tehdy dostupné informace o fraktálech a podal je snadným a přístupným způsobem. Mandelbrot ve své prezentaci kladl hlavní důraz nikoli na těžkopádné vzorce a matematické konstrukce, ale na geometrickou intuici čtenářů. Díky počítačově vytvořeným ilustracím a historickým pohádkám, kterými autor umně naředil vědeckou složku monografie, se kniha stala bestsellerem a fraktály se dostaly do povědomí široké veřejnosti.

Jejich úspěch mezi nematematiky je z velké části způsoben tím, že pomocí velmi jednoduchých konstrukcí a vzorců, kterým rozumí i středoškolák, se získávají obrazy úžasné složitosti a krásy. Když se osobní počítače staly dostatečně výkonnými, objevil se dokonce celý trend v umění - fraktální malba, a mohl to udělat téměř každý majitel počítače. Nyní na internetu můžete snadno najít mnoho stránek věnovaných tomuto tématu.

Válka a mír

Jak je uvedeno výše, jedním z přírodních objektů s fraktálovými vlastnostmi je pobřeží. S ním, respektive s pokusem změřit jeho délku, se váže jeden zajímavý příběh, který tvořil základ Mandelbrotova vědeckého článku a je popsán i v jeho knize „Fraktální geometrie přírody“.

Toto je experiment, který zinscenoval Lewis Richardson, velmi talentovaný a excentrický matematik, fyzik a meteorolog. Jedním ze směrů jeho výzkumu byl pokus najít matematický popis příčin a pravděpodobnosti ozbrojeného konfliktu mezi oběma zeměmi. Mezi parametry, které vzal v úvahu, byla i délka společné hranice obou válčících zemí. Když sbíral data pro numerické experimenty, zjistil, že v různých zdrojích se údaje o společné hranici mezi Španělskem a Portugalskem velmi liší.

To ho přimělo zjistit následující: délka hranic země závisí na pravítku, kterým je měříme. Čím menší je měřítko, tím delší je hranice. To je způsobeno skutečností, že s větším zvětšením je možné vzít v úvahu stále více pobřežních ohybů, které byly dříve ignorovány kvůli drsnosti měření. A pokud se s každým zvětšením měřítka otevřou dříve nezapočítané ohyby čar, pak se ukáže, že délka hranic je nekonečná! Pravda, ve skutečnosti se to neděje – přesnost našich měření má konečnou mez. Tento paradox se nazývá Richardsonův efekt.

Konstruktivní (geometrické) fraktály

Algoritmus pro konstrukci konstruktivního fraktálu v obecném případě je následující. Nejprve potřebujeme dva vhodné geometrické tvary, říkejme jim základ a fragment. V první fázi je znázorněn základ budoucího fraktálu. Poté jsou některé jeho části nahrazeny fragmentem pořízeným ve vhodném měřítku - jde o první iteraci konstrukce. Výsledný obrazec pak opět změní některé části na obrazce podobné fragmentu atd. Pokud v tomto procesu pokračujeme donekonečna, dostaneme v limitě fraktál.

Uvažujme tento proces pomocí Kochovy křivky jako příkladu. Jako základ pro Kochovu křivku si můžete vzít libovolnou křivku (pro „Kochovu vločku“je to trojúhelník). Ale omezíme se na nejjednodušší případ – segment. Fragment je přerušovaná čára zobrazená nahoře na obrázku. Po první iteraci algoritmu se v tomto případě bude počáteční segment shodovat s fragmentem, poté bude každý z jeho dílčích segmentů nahrazen přerušovanou čarou, podobnou fragmentu atd. Obrázek ukazuje první čtyři kroky tento proces.

Jazykem matematiky: dynamické (algebraické) fraktály

Fraktály tohoto typu vznikají při studiu nelineárních dynamických systémů (odtud název). Chování takového systému lze popsat komplexní nelineární funkcí (polynomem) f (z). Vezměte nějaký počáteční bod z0 na komplexní rovině (viz postranní panel). Nyní zvažte takovou nekonečnou posloupnost čísel v komplexní rovině, z nichž každé je získáno z předchozího: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

V závislosti na počátečním bodu z0 se taková posloupnost může chovat různě: inklinovat k nekonečnu jako n -> ∞; konvergovat k nějakému koncovému bodu; cyklicky přijímat řadu pevných hodnot; jsou možné i složitější možnosti.

Komplexní čísla

Komplexní číslo je číslo sestávající ze dvou částí – reálné a imaginární, tedy formálního součtu x + iy (zde x a y jsou reálná čísla). jsem tzv. imaginární jednotka, tedy číslo, které splňuje rovnici i ^ 2 = -1. Nad komplexními čísly jsou definovány základní matematické operace - sčítání, násobení, dělení, odčítání (není definována pouze operace porovnávání). Pro zobrazení komplexních čísel se často používá geometrické zobrazení - v rovině (říká se mu komplexní) je skutečná část položena na úsečce a imaginární část na ose pořadnice, zatímco komplexní číslo bude odpovídat bodu s kartézským souřadnice x a y.

Jakýkoli bod z komplexní roviny má tedy svůj vlastní charakter chování při iteracích funkce f (z) a celá rovina je rozdělena na části. V tomto případě mají body ležící na hranicích těchto částí následující vlastnost: pro libovolně malé posunutí se prudce mění povaha jejich chování (takové body se nazývají bifurkační body). Ukazuje se tedy, že množiny bodů s jedním konkrétním typem chování, stejně jako množiny bifurkačních bodů, mají často fraktální vlastnosti. Toto jsou Juliovy množiny pro funkci f (z).

Rodina draků

Změnou základny a fragmentu můžete získat úžasnou škálu konstruktivních fraktálů.

Navíc lze podobné operace provádět v trojrozměrném prostoru. Příklady volumetrických fraktálů jsou Mengerova houba, Sierpinského pyramida a další.

Dračí rodina je také označována jako konstruktivní fraktály. Někdy jsou nazýváni jménem objevitelů „draci z Highway-Harter“(ve své podobě připomínají čínské draky). Existuje několik způsobů, jak tuto křivku vykreslit. Nejjednodušší a nejintuitivnější z nich je toto: musíte vzít dostatečně dlouhý proužek papíru (čím tenčí papír, tím lepší) a přeložit ho na polovinu. Poté jej opět dvakrát ohněte ve stejném směru jako poprvé.

Po několika opakováních (obvykle po pěti nebo šesti přeloženích je proužek příliš tlustý na to, aby mohl být dále úhledně ohnut), musíte proužek uvolnit zpět a pokusit se vytvořit v záhybech úhly 90˚. Poté se křivka draka ukáže v profilu. Samozřejmě to bude pouze přiblížení, jako všechny naše pokusy o zobrazení fraktálních objektů. Počítač umožňuje zobrazit mnohem více kroků v tomto procesu a výsledkem je velmi krásná postava.

Sada Mandelbrot je konstruována trochu jiným způsobem. Uvažujme funkci fc (z) = z ^ 2 + c, kde c je komplexní číslo. Sestrojme posloupnost této funkce se z0 = 0, v závislosti na parametru c může divergovat do nekonečna nebo zůstat omezená. Navíc všechny hodnoty c, pro které je tato sekvence omezena, tvoří Mandelbrotovu množinu. Podrobně ji studoval sám Mandelbrot a další matematici, kteří objevili mnoho zajímavých vlastností této množiny.

Je vidět, že definice množin Julia a Mandelbrot jsou si navzájem podobné. Ve skutečnosti spolu tyto dva soubory úzce souvisejí. Konkrétně Mandelbrotova množina jsou všechny hodnoty komplexního parametru c, pro které je Julia množina fc (z) spojena (množina se nazývá spojená, pokud ji nelze rozdělit na dvě nesouvislé části, s některými dalšími podmínkami).

Fraktály a život

Dnes je teorie fraktálů široce používána v různých oblastech lidské činnosti. Kromě ryze vědeckého objektu pro výzkum a již zmíněného malování fraktálů se fraktály v teorii informace využívají ke kompresi grafických dat (zde se využívá především vlastnost sebepodobnosti fraktálů - vždyť za účelem zapamatování si malého fragmentu výkres a transformace, pomocí kterých můžete získat zbytek dílů, vyžaduje mnohem méně paměti než pro uložení celého souboru).

Přidáním náhodných poruch do vzorců definujících fraktál lze získat stochastické fraktály, které velmi věrohodně přenášejí některé skutečné objekty - reliéfní prvky, povrch vodních útvarů, některé rostliny, což se úspěšně používá ve fyzice, geografii a počítačové grafice k dosažení větších podobnost simulovaných objektů se skutečnými. V elektronice se vyrábějí antény, které mají fraktální tvar. Zabírají málo místa a poskytují celkem kvalitní příjem signálu.

Ekonomové používají fraktály k popisu křivek měnových kurzů (vlastnost objevená Mandelbrotem). Tím tato malá exkurze do úžasně krásného a rozmanitého světa fraktálů končí.