Obsah:

Plochý, kulový nebo hyperbolický tvar našeho vesmíru?
Plochý, kulový nebo hyperbolický tvar našeho vesmíru?

Video: Plochý, kulový nebo hyperbolický tvar našeho vesmíru?

Video: Plochý, kulový nebo hyperbolický tvar našeho vesmíru?
Video: Khodorkovsky, the rise and fall of Russia's 'Mr 15 billion' 2024, Březen
Anonim

Z našeho pohledu je vesmír nekonečný. Dnes víme, že Země má tvar koule, ale o tvaru Vesmíru přemýšlíme jen zřídka. V geometrii existuje mnoho trojrozměrných tvarů jako alternativa ke „známému“nekonečnému prostoru. Autoři vysvětlují rozdíl co nejpřístupnější formou.

Při pohledu na noční oblohu se zdá, že vesmír pokračuje navždy ve všech směrech. Takto si představujeme Vesmír – ale ne skutečnost, že je to pravda. Byly totiž doby, kdy si všichni mysleli, že Země je placatá: zakřivení zemského povrchu je nepostřehnutelné a představa, že Země je kulatá, se zdála nepochopitelná.

Dnes víme, že Země má tvar koule. Ale málokdy přemýšlíme o tvaru vesmíru. Když koule nahradila plochou Zemi, další trojrozměrné formy nabízejí alternativy ke „známému“nekonečnému prostoru.

O tvaru vesmíru lze položit dvě otázky – samostatné, ale vzájemně související. Jedna je o geometrii - pečlivé výpočty úhlů a ploch. Další je o topologii: jak se jednotlivé části spojují do jediné formy.

Kosmologická data naznačují, že viditelná část vesmíru je hladká a homogenní. Místní struktura prostoru vypadá v každém bodě a v každém směru téměř stejně. Těmto charakteristikám odpovídají pouze tři geometrické tvary – plochý, kulový a hyperbolický. Podívejme se postupně na tyto tvary, některé topologické úvahy a závěry založené na kosmologických datech.

Plochý vesmír

Ve skutečnosti je to školní geometrie. Součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů a plocha kruhu je πr2. Nejjednodušším příkladem plochého trojrozměrného tvaru je obyčejný nekonečný prostor, matematici mu říkají euklidovský, ale existují i jiné ploché možnosti.

Není snadné si tyto tvary představit, ale svou intuici můžeme propojit myšlením ve dvou rozměrech místo ve třech. Kromě obvyklé euklidovské roviny můžeme vytvořit další ploché tvary vyříznutím kousku roviny a slepením jejích okrajů. Řekněme, že jsme vystřihli obdélníkový kus papíru a jeho protilehlé okraje přilepili páskou. Pokud přilepíte horní okraj ke spodnímu okraji, získáte válec.

Můžete také přilepit pravý okraj k levému - pak dostaneme koblihu (matematici tomuto tvaru říkají torus).

Pravděpodobně namítnete: "Něco není moc ploché." A budete mít pravdu. Trochu jsme podváděli o plochý torus. Pokud se opravdu pokusíte vytvořit torus z kusu papíru tímto způsobem, narazíte na určité potíže. Je snadné vyrobit válec, ale nebude fungovat lepení jeho konců: papír se bude mačkat podél vnitřního kruhu torusu, ale nebude to stačit na vnější kruh. Takže musíte vzít nějaký elastický materiál. Protahováním se ale mění délka a úhly a tím i celá geometrie.

Je nemožné zkonstruovat skutečný hladký fyzický torus z plochého materiálu uvnitř běžného trojrozměrného prostoru bez zkreslení geometrie. Zbývá abstraktně spekulovat o tom, jaké to je žít uvnitř plochého torusu.

Představte si, že jste dvourozměrná bytost, jejíž vesmír je plochý torus. Vzhledem k tomu, že tvar tohoto vesmíru je založen na plochém listu papíru, všechny geometrické skutečnosti, na které jsme zvyklí, zůstávají stejné - alespoň v omezeném měřítku: úhly trojúhelníku se sčítají až o 180 stupňů a tak dále. Ale se změnou globální topologie prostřednictvím ořezávání a lepení se život dramaticky změní.

Pro začátek má torus rovné čáry, které se smyčkují a vracejí se do výchozího bodu.

Na deformovaném torusu vypadají zakřivené, ale obyvatelům plochého torusu se zdají rovné. A protože se světlo šíří přímočaře, pak když se podíváte přímo kterýmkoli směrem, uvidíte sami sebe zezadu.

Jako by vámi na původním kousku papíru prošlo světlo, přešlo k levému okraji a poté se znovu objevilo na pravém, jako ve videohře.

Zde je další způsob, jak o tom přemýšlet: vy (nebo paprsek světla) překročíte jednu ze čtyř hran a ocitnete se v nové místnosti, ale ve skutečnosti je to stejná místnost, jen z jiného úhlu pohledu. Při putování takovým vesmírem narazíte na nekonečné množství kopií původní místnosti.

To znamená, že si vezmete nekonečné množství kopií sebe sama, kam se podíváte. Jedná se o jakýsi zrcadlový efekt, pouze tyto kopie nejsou přesně odrazy.

Na torusu každý z nich odpovídá jedné nebo druhé smyčce, po které se světlo vrací zpět k vám.

Stejným způsobem získáme plochý trojrozměrný torus slepením protilehlých ploch krychle nebo jiné krabice. Nebudeme schopni tento prostor znázornit uvnitř obyčejného nekonečného prostoru - prostě se tam nevejde - ale budeme moci abstraktně spekulovat o životě v něm.

Jestliže je život ve dvourozměrném torusu jako nekonečné dvourozměrné pole identických obdélníkových místností, pak život v trojrozměrném torusu je jako nekonečné trojrozměrné pole identických krychlových místností. I vy uvidíte nekonečné množství vlastních kopií.

Trojrozměrný torus je pouze jednou z deseti variant konečného plochého světa. Existují také nekonečné ploché světy - například trojrozměrná obdoba nekonečného válce. Každý z těchto světů bude mít svou „místnost smíchu“s „odrazy“.

Mohl by náš vesmír být jednou z plochých forem?

Když se podíváme do vesmíru, nevidíme nekonečné množství vlastních kopií. Bez ohledu na to není odstranění plochých tvarů snadné. Za prvé, všechny mají stejnou lokální geometrii jako euklidovský prostor, takže je nebude možné rozlišit místními měřeními.

Řekněme, že jste dokonce viděli svou vlastní kopii, tento vzdálený obrázek pouze ukazuje, jak jste vy (nebo vaše galaxie jako celek) vypadali v dávné minulosti, protože světlo ušlo dlouhou cestu, než k vám dorazilo. Možná dokonce vidíme své vlastní kopie – ale změněné k nepoznání. Kromě toho jsou různé kopie v různých vzdálenostech od vás, takže nejsou stejné. A navíc tak daleko, že stejně nic neuvidíme.

Aby se astronomové vyhnuli těmto potížím, obvykle nehledají své kopie, ale opakující se útvary v nejvzdálenějším viditelném jevu – kosmickém mikrovlnném záření na pozadí, to je pozůstatek velkého třesku. V praxi to znamená hledat dvojice kruhů s odpovídajícími vzory horkých a studených míst – předpokládá se, že jsou stejné, jen z různých stran.

Astronomové provedli právě takové pátrání v roce 2015 díky Planckovu vesmírnému dalekohledu. Dali dohromady data o typech shodných kruhů, které očekáváme, že uvidíme uvnitř plochého 3D torusu nebo jiného plochého 3D tvaru - takzvané desky - ale nic nenašli. To znamená, že pokud žijeme v torusu, pak se zdá, že je tak velký, že jakékoli opakující se fragmenty leží mimo pozorovatelný vesmír.

Kulovitý tvar

Velmi dobře známe dvourozměrné koule - to je povrch koule, pomeranče nebo Země. Ale co když je náš vesmír trojrozměrná koule?

Kreslení trojrozměrné koule je obtížné, ale je snadné ji popsat jednoduchou analogií. Pokud je dvourozměrná koule souborem všech bodů v pevné vzdálenosti od nějakého centrálního bodu v běžném trojrozměrném prostoru, je trojrozměrná koule (nebo „trisféra“) sbírkou všech bodů v pevné vzdálenosti od nějakého centrálního bodu. centrální bod ve čtyřrozměrném prostoru.

Život uvnitř trisféry je velmi odlišný od života v plochém prostoru. Chcete-li si to představit, představte si, že jste dvourozměrná bytost ve dvourozměrné sféře. Dvourozměrná koule je celý Vesmír, proto nevidíte trojrozměrný prostor, který vás obklopuje, a nemůžete se do něj dostat. V tomto kulovém vesmíru se světlo šíří nejkratší cestou: ve velkých kruzích. Ale tyto kruhy se vám zdají přímočaré.

Nyní si představte, že se s vaším 2D kamarádem poflakujete na severním pólu a on šel na procházku. Když se odstěhujete, zpočátku se to ve vašem vizuálním okruhu bude postupně snižovat - jako v běžném světě, i když ne tak rychle, jak jsme zvyklí. Je to proto, že jak váš vizuální okruh roste, váš přítel ho zabírá stále méně a méně.

Ale jakmile váš přítel překročí rovník, stane se něco zvláštního: začne se zvětšovat, i když se ve skutečnosti stále vzdaluje. Je to proto, že procento, které zabírají ve vašem vizuálním kruhu, se zvyšuje.

Tři metry od jižního pólu bude váš přítel vypadat, jako by stál tři metry od vás.

Po dosažení jižního pólu zcela vyplní celý váš viditelný horizont.

A když na jižním pólu nikdo nebude, váš vizuální horizont bude ještě podivnější – jste to vy. Je to proto, že světlo, které vydáváte, se bude šířit po kouli, dokud se nevrátí.

To přímo ovlivňuje život ve 3D sféře. Každý bod trisféry má protiklad, a pokud tam nějaký objekt je, uvidíme ho na celé obloze. Pokud tam nic nebude, uvidíme sami sebe v pozadí – jako by náš vzhled byl nalepen na balón, pak převrácený naruby a nafouknutý na celý horizont.

Ale i když je trisféra základním modelem pro sférickou geometrii, není to zdaleka jediný možný prostor. Jak jsme stavěli různé ploché modely řezáním a lepením kousků euklidovského prostoru, tak můžeme stavět kulové lepením vhodných kousků trisféry. Každý z těchto slepených tvarů bude mít stejně jako torus efekt "místnosti smíchu", pouze počet místností v kulových tvarech bude konečný.

Co když je náš vesmír kulový?

Ani ti největší narcisté z nás nevidí sami sebe jako pozadí místo noční oblohy. Ale stejně jako v případě plochého torusu to, že něco nevidíme, vůbec neznamená, že to neexistuje. Hranice sférického vesmíru mohou být větší než hranice viditelného světa a pozadí prostě není vidět.

Ale na rozdíl od torusu lze sférický vesmír detekovat pomocí místních měření. Sférické tvary se od nekonečného euklidovského prostoru liší nejen globální topologií, ale také malou geometrií. Například, protože přímky ve sférické geometrii jsou velké kruhy, jsou tam trojúhelníky „baculatější“než ty euklidovské a součet jejich úhlů přesahuje 180 stupňů.

V zásadě je měření kosmických trojúhelníků hlavním způsobem, jak zkontrolovat, jak zakřivený je vesmír. Pro každou horkou nebo studenou skvrnu na kosmickém mikrovlnném pozadí je znám její průměr a vzdálenost od Země, tvořící tři strany trojúhelníku. Můžeme změřit úhel, který svírá skvrna na noční obloze – a to bude jeden z rohů trojúhelníku. Pak můžeme zkontrolovat, zda kombinace délek stran a součtu úhlů odpovídá rovinné, sférické nebo hyperbolické geometrii (kde součet úhlů trojúhelníku je menší než 180 stupňů).

Většina těchto výpočtů spolu s dalšími měřeními zakřivení předpokládá, že vesmír je buď zcela plochý, nebo je mu velmi blízko. Jeden výzkumný tým nedávno navrhl, že některá data z roku 2018 z Planck Space Telescope hovoří spíše ve prospěch sférického vesmíru, ačkoli jiní vědci tvrdili, že předložené důkazy lze připsat statistické chybě.

Hyperbolická geometrie

Na rozdíl od koule, která se uzavírá sama do sebe, se hyperbolická geometrie nebo prostor s negativním zakřivením otevírá směrem ven. Toto je geometrie klobouku se širokou krempou, korálového útesu a sedla. Základním modelem hyperbolické geometrie je nekonečný prostor, stejně jako plochý euklidovský. Ale protože se hyperbolický tvar rozpíná směrem ven mnohem rychleji než plochý, neexistuje způsob, jak vměstnat ani dvourozměrnou hyperbolickou rovinu do běžného euklidovského prostoru, pokud nechceme deformovat jeho geometrii. Existuje však zkreslený obraz hyperbolické roviny známé jako Poincarého disk.

Z našeho pohledu se trojúhelníky v blízkosti hraniční kružnice zdají být mnohem menší než ty v blízkosti středu, ale z pohledu hyperbolické geometrie jsou všechny trojúhelníky stejné. Kdybychom se pokusili zobrazit tyto trojúhelníky skutečně stejné velikosti – třeba s použitím elastického materiálu a postupným nafouknutím každého trojúhelníku, pohybem od středu ven – náš disk by připomínal klobouk se širokou krempou a ohýbal by se stále více. A jak se přibližujete k hranici, toto zakřivení by se vymklo kontrole.

V běžné euklidovské geometrii je obvod kruhu přímo úměrný jeho poloměru, ale v hyperbolické geometrii kruh roste exponenciálně vzhledem k poloměru. V blízkosti hranice hyperbolického disku se vytvoří hromada trojúhelníků

Kvůli této vlastnosti matematici rádi říkají, že je snadné se ztratit v hyperbolickém prostoru. Pokud se váš přítel od vás vzdaluje v normálním euklidovském prostoru, začne se vzdalovat, ale spíše pomalu, protože váš vizuální kruh se tak rychle nerozrůstá. V hyperbolickém prostoru se váš vizuální kruh exponenciálně rozšiřuje, takže váš přítel se brzy zmenší na nekonečně malou skvrnu. Takže pokud jste nesledovali jeho trasu, je nepravděpodobné, že ho později najdete.

I v hyperbolické geometrii je součet úhlů trojúhelníku menší než 180 stupňů – například součet úhlů některých trojúhelníků z mozaiky Poincarého disku je pouze 165 stupňů.

Jejich strany se zdají být nepřímé, ale to proto, že se na hyperbolickou geometrii díváme zkreslující čočkou. Pro obyvatele disku Poincaré jsou tyto křivky ve skutečnosti rovné čáry, takže nejrychlejší způsob, jak se dostat z bodu A do bodu B (oba na okraji), je řezem do středu.

Existuje přirozený způsob, jak vytvořit trojrozměrný analog Poincarého disku - vezměte trojrozměrnou kouli a naplňte ji trojrozměrnými tvary, které se postupně zmenšují, jak se přibližují k hraniční kouli, jako trojúhelníky na Poincarého disku. A stejně jako u rovin a koulí můžeme vytvořit celou řadu dalších trojrozměrných hyperbolických prostorů vyříznutím vhodných kusů trojrozměrné hyperbolické koule a slepením jejích ploch.

No, je náš vesmír hyperbolický?

Hyperbolická geometrie se svými úzkými trojúhelníky a exponenciálně rostoucími kruhy vůbec není jako prostor kolem nás. Ve skutečnosti, jak jsme již poznamenali, většina kosmologických měření se přiklání k plochému vesmíru.

Nemůžeme ale vyloučit, že žijeme ve sférickém nebo hyperbolickém světě, protože malé fragmenty obou světů vypadají téměř jako ploché. Například součet úhlů malých trojúhelníků ve sférické geometrii je jen o málo větší než 180 stupňů a v hyperbolické geometrii je jen o něco menší.

Proto si staří lidé mysleli, že Země je placatá – zakřivení Země není pouhým okem viditelné. Čím větší je sférický nebo hyperbolický tvar, tím je každá jeho část plošší, a proto, pokud má náš vesmír extrémně velký sférický nebo hyperbolický tvar, je jeho viditelná část tak blízko rovině, že jeho zakřivení lze detekovat pouze pomocí ultrapřesných přístrojů, a ještě jsme je nevynalezli….

Doporučuje: